Η ονομασία Αργάκι στην τοπική διάλεκτο προφέρεται Αρκάτζιν, που σημαίνει ρυάκι και πιθανόν να πήρε το όνομα του από αυτό.
Σύμφωνα με τον κατάλογο του Mas Latrie, το Αργάκι εμφανίζεται ως βασιλικό κτήμα κατά την περίοδο των Ενετών κι αναφέρεται ως Argaglia στην περιφέρεια Μόρφου, που ίσως να είναι το όνομα του σημερινού Αργακιού. Επίσης, το χωριό Ariati, που σημειώνουν οι ενετικοί χάρτες, ανατολικά της Μόρφου, πιθανόν να είναι το σημερινό Αργάκι.
Στους βυζαντινούς χρόνους βρίσκομαι την Μονή του Ρύακος προς τιμήν του Τιμίου Προδρόμου. Η Μόνη είχε άμεση σχέση με τη Μονή του Πίπη (Σημερινός καθεδρικός ναός του Αγίου Ιωάννη του Θεολόγου της Ιεράς Αρχιεπισκοπής Κύπρου). Μέχρι σήμερα η κεντρική εκκλησία του χωριού είναι αφιερωμένη στον Τίμιο Πρόδρομο και μια από τις μεγαλύτερες οικογένειες του Αργακιού έχει το επίθετο Πίπη. Ο ιστορικός Κώστας Κύρρης συνδέει την άφιξη της οικογένειας Πίπη ως επίσης και των οικογενειών Μασούρα και Κούρρη με την πτώση της Άκρας το 1291.
Το 1960 ο πληθυσμός του χωριού ανερχόταν στους 1219 Ελληνοκύπριους και 72 Τουρκοκύπριους, οι οποίοι εγκατέλειψαν το χωριό πολύ πριν το 1974. Το 1973 οι κάτοικοι αυξήθηκαν στους 1599.
Οι κάτοικοι καλλιεργούσαν όλα τα είδη εσπεριδοειδών, λαχανικά, πεπονοειδή, φρούτα κ.ά. και είχαν ανεπτυγμένη κτηνοτροφία αιγοπροβάτων και αγελάδων. Πριν την τουρκική εισβολή το 1973 εκτρέφονταν 1766 περίπου αιγοπρόβατα και 88 αγελάδες.
Το 1962 πάνω στο Σερράχη ποταμό, στα βόρεια του χωριού, κατασκευάστηκε το γνωστό φράγμα Μόρφου και το 1973 το επίσης γνωστό φράγμα, Μάσαρη. Πριν την τουρκική εισβολή περίπου το 77% της διοικητικής έκτασης του χωριού αρδευόταν, ένα 13% ήταν ξηρική καλλιεργούμενη γη και το υπόλοιπο ήταν ακαλλιέργητη γη.
Ο ενοριακός ναός του χωριού είναι προς τιμήν του Αγίου Ιωάννου του Προδρόμου κι ανοικοδομήθηκε στα τέλη του 19ου αιώνος. Προφανώς η εκκλησία κτίστηκε επί των ερειπίων της πάλαι ποτέ διαλαμψάσης Μονής του Ρύακος. Επίσης, οικοδομήθηκε σύγχρονος ναός αφιερωμένος στην Αγία Βαρβάρα. Καθώς και τα εξωκλήσια Αγίων Ανδρονίκου και Αθανασίας και Αγίου Κοσμά που σήμερα είναι ερείπιο.
Πριν την τουρκική εισβολή λειτουργούσε Δημοτικό Σχολείο που σε αυτό φοιτούσαν κατά το σχολικό έτος 1973-74, 199 μαθητές
Ο Λοίζος Φιλίππου αναφέρει τα εξής:
«Εις το χωρίον τούτο το πρώτον σχολείον ιδρύθη τω 1873 με διδάσκαλον τον Ιεροδιάκονον Χαρίτωνα, όστις ευρίσκετο εν τη υπηρεσία του Μητροπολίτου Κυρηνείας και απελύθη. Εδίδαξεν επί εν και μόνον έτος αποθανών τω 1874 εις την γενέτειράν του Αργάκι. Από του 1874 – 1877 εδίδαξεν ο εκ Μόρφου Ιωάννης Κυριακίδης, ο μετά ταύτα διδάσκαλος και μουχτάρης Μόρφου, όστις ήτο γνωστός καθ’ όλον το διαμέρισμα ως «διδάσκαλος». Επί των ημερών του ιδρύθη και το σχολείον Αργακιού διά δαπάνης και εργασίας των κατοίκων. Το σχολείον τούτο χρησιμοποιείται και σήμερον ως Παρθεναγωγείον. Από του 1877 εδίδασκεν ο εκ του χωρίου τούτου Νεόφυτος Παπαδόπουλος, όστις τα πρώτα γράμματα εδιδάχθη εν τω χωρίω του και έπειτα ηκολούθησε μαθήματα εν τη λειτουργούση εν τη Μονή Αγίου Παντελεήμονος εν Μύρτου Σχολή. Είτα μετέβη εις την Μικράν Ασίαν παρά τινι θείω του κληρικώ και δαπάναις αυτού απεπεράτωσε το Σχολαρχείο Μαλάσων της Καρίας. Ούτος εξηκολούθησεν υπηρετών μέχρι του 1923, ότε απεχώρησε λόγω ορίου ηλικίας».
*Χρησιμοποιήθηκαν εκτενή αποσπάσματα από τα λήμματα της Μεγάλης Κυπριακής Εγκυκλοπαίδειας 1981-1990, εκδόσεις Φιλόκυπρος, Λευκωσίας
ΕΚΚΛΗΣΙΑΣΤΙΚΟΙ ΕΠΙΤΡΟΠΟΙ ΑΡΓΑΚΙΟΥ:
- ΠΡΩΤ. ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ ΠΙΠΗΣ
- ΧΡΙΣΤΟΣ ΚΝΕΚΝΑΣ
- ΑΝΔΡΕΑΣ ΡΟΥΣΙΑΣ
- ΝΙΤΣΑ ΚΥΡΙΑΚΙΔΟΥ
- ΒΑΣΟΣ ΧΑΤΖΗΒΑΣΙΛΕΙΟΥ
- ΑΝΔΡΕΑΣ ΠΑΠΑΓΕΩΡΓΙΟΥ